ALGEBRA, RESOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICA

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Objetivo específico: Resolver correctamente una ecuación cuadrática cualquiera

Definición informal

Una ecuación cuadrática se identifica porque aparece al menos una variable elevada al cuadrado.

Solución de una ecuación cuadrática cualquiera

Método I (Fórmula general o calculadora)

Utilizando la fórmula general o bien la calculadora se obtienen directamente las soluciones de una ecuación cuadrática cualquiera.  En este caso no es necesario hacer ninguna adaptación extra (como cambiar signos).

Ejemplos

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas

1.    x²-2x+1=0 (siempre tiene que quedar igualado a cero)

1)    x = 1 (por calculadora)

2)    Por fórmula general:

                                                

x²              = 3x-2

El primer paso es dejar la ecuación igualada a cero:

x² -3x+2 = 0

Resolviendo por fórmula general:

∆=1

∆ = 1

Solución: {1, 2}

So

3.     

–x + 35x² = 0

Ordenando:   35x² – x + 0 =0

a=35;  b= -1; c=0

Solución:

Nota: Cuando c=0 una de las soluciones siempre es cero (se dice nula)

MÉTODO II (Cuando b=0).

Éstos son trinomios de la forma ax² +c=0

Aunque también se puede utilizar fórmula general o calculadora podemos utilizar el siguiente método:

1-    El término c se ubica a la derecha

2-    El coeficiente de x² pasa a dividir

3-    Se extrae raíz cuadrada del resultado obtenido

4-    Siempre quedan dos resultados iguales pero con signo opuesto cuando b=0

Ejemplo

4x2             – 1 =0 4x2  + 0x – 1 =0

a=4;  b=0;  c=-1

Método II (Despejando):

Solución:

Ejemplo

Cuando aparecen operaciones aún no resueltas deben simplificarse buscando también términos semejantes antes de resolver la ecuación.

Fórmulas notables I  (a + b)2 =a2 + 2ab + b2 II (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 III (a + b)(a – b) = a2 – b2

Resolver la ecuación  

       x² – 4² = -( x² – 2.x.4 + 4²)

   x² – 16 = -( x² – 8x + 16)

x² – 16 = - x² + 8x - 16

                           x² – 16 + x² - 8x + 16= 0

                                                2x² - 8x =0

Solución: {0, 4}

 Estudio del discriminante

1-    Si el ∆ < 0: No hay solución en

2-    Si el ∆ = 0: Existe solo una solución en (existen dos soluciones iguales).

3-    Si el ∆ > 0: Existen dos soluciones reales diferentes.

Ejemplo

Determine el discriminante de la ecuación x² + x +1=0 e indique la respectiva solución.

∆ =b²-4ac= -3

Como el discriminante es negativo entonces la solución es  , que también se puede representar {  }

Trabajo cotidiano:

-          Ejercicio 1.11: 1, 2, 6, 16

-          Ejercicio 1.12: 1, 3, 12

-          Ejercicio 1.13: 1, 3, 10

-          Ejercicio 1.14: punto B: 1, 6, 14.